ローパスフィルタについて

どうも、さわざわです。

今回はみんな大好き、ローパスフィルタ(LPF)の伝達関数の話をしていこうと思うよ。アナログ回路やると伝達関数の考え方が必須で、その基礎が電気回路まで戻ってLPFとかになるのかなと。特にソース接地回路とかオペアンプとかの周波数特性は、dcゲインを持たせたLPFで考えることが多いよね。みなさんもぜひ勉強していってねい。
本記事を読むことでLPFの伝達関数と周波数特性の考え方がわかります。

Contents

1 LPFの伝達関数
2 LPFの周波数応答
3 回路設計におけるLPFの考え方
4 次回予告

LPFの伝達関数

基本的なLPFの回路図は以下のようになってるね。

これってgndを基準としてV_inをV_outに分圧すると下図の右にように表せて、V_inに対してV_outがいくら出てくるか、つまり伝達関数が出せて、分母がV_inからgndにかかる負荷、分子がV_outからgndにかかる負荷でこんな感じで表せるね。

容量Cのインピーダンス(電流の通しやすさと考えてok)は1/jωCで表します。ωは角周波数なので周波数と思ってくれればよくて、これは容量は周波数によってインピーダンスが変動し、高周波ほどでωが大きく低インピーダンス(電流を通しやすい)になることを表してるね。抵抗Rは周波数関係なく同じインピーダンス。

この伝達関数って見方をかえると、分子が1なので低周波だと容量がほぼ見えない(ωが小さすぎて右下のjωRCが無視される)ので単にV_inとV_outが抵抗でつながっているだけで伝達ゲインが1ということになるね。

LPFの周波数応答

じゃあ周波数応答をみよっか。この分母の1+jωRCは実数と虚数で構成されているので、複素平面で考えたときに大きさは、ωの値に応じて以下の3パターンに場合分けできるんです。まずは場合分けの考え方から。この伝達関数は分母が実数と虚数から成り立ってるので、とりあえず分母だけ考えると、以下のように複素平面で表せるね。今回の分母1+jωRCの絶対値がこの赤矢印になる。

じゃあここでx軸の値とy軸の値で比較して、場合分けをしよう。例えばωは周波数によって大きさが変わる変数なので、虚数軸の値 ωCRより実数軸の値 1のほうがずっと大きい場合があったとすると、以下のように考えられる。

じゃあ周波数帯が上記より高くなって、ωRCが1と同じくらいになったら|1+jωRC|どうなると思う？この場合はω内に代入できるんで、実数軸と虚数軸の値がそろうね。つまり絶対値の大きさは√2。

さて残るは虚数軸の値 ωCRより実数軸の値 1のほうがずっと小さい場合。これはここまでくるともうたやすく答えが予想できちゃうかな。

その通り！法則見えてきたねって、厚切りジェイソンじゃないけど、場合分けの考え方はこれで終わり。分母だけ先にまとめちゃうと、

ってなったね。今回、伝達関数はこれの逆数なんで場合分けの条件は同じまま、ひっくり返すだけで、

となった。

ちなみに1次元の伝達関数を扱ってるので今回は省略するけど、安定性を議論する場合の考え方もそのうちお話しします。

上の場合分けを、横軸を周波数ωのグラフに書き起こすとどうなるかな。。。ωが1/RCをまたぐか否かで応答がかなり変わるはずだね。1/RCより小さければ1をだす、つまり0dBで信号はほぼ減衰されず出力される。ωが1/RCになったときには信号は1/√2(-3dB)に減衰されて出てきて、以降は1/ωRCの傾きを持って信号が減衰されていくことになる。これってRC自体は周波数で変わらないのでωが10倍になると信号が10倍減衰されるってことになるね。つまり傾きは決まってて-20dB/dec(横軸10倍に対して-20dB落ちる)。

回路設計におけるLPFの考え方

回路設計においては、必ず抵抗や容量が寄生成分としてついちゃって、大体抵抗が直列に、容量が並列につくからLPFが形成されやすいんだね(そのうち話すけどHPF成分も出ることはあるけど、無視できることが多い)。つまり高周波でのゲインがカットされてしまって、特性が寄生を気にしない状態よりかなり落ちちゃう。

だから回路図(schematic)だけでシステムを作ってokとするのは許されまじって感じで、その心は配線とかにつくはずの抵抗や容量が見えないから特性がチップよりはるかに良くなっちゃうんだね。だからチップ作るためにレイアウトを書くだけでなく、レイアウトから寄生成分を抽出して回路に反映させて特性を見る必要があるんだ。そして寄生成分を最小限にするためのレイアウトの最適化も大事。

寄生成分は必ず付くので、アンプとかも出力についてる容量を考えると、DCゲインを持ったLPFのように表現できる。これは今度ソース接地回路とかで見てみよう。